Системы счисления и основы логик

Системы счисления и основы логики.

1.Автобиография

В бумагах одного чудака – математика была найдена его автобиография. Она начиналась следующими удивительными словами: «Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего11 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя несколько лет у меня была уже большая сеиья из 10 детей…» и т.д.

Вопрос: Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка? Восстановите их истинный смысл.

Ответ: Недесятичная система счисления — причина кажущейся противоречивости приведённых чисел. Основание этой системы определяется фразой: «спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком…». Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4—наибольшая в этой системе (как 9— в десятичной), а, следовательно, основанием системы является 5, т.е. все числа в автобиографии записаны в пятеричной системе счисления.

44₅—24₁₀, 100₅—25₁₀, 34₅—19₁₀, 11₅—6₁₀, 10₅—5₁₀.

2.Удивительная девочка.

Ей было тысяча сто лет,

Она в сто первый класс ходила,

В портфеле по сто книг носила—

Всё это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять тёмно-синих глаз

Рассматривали мир привычно…

Но станет всё совсем обычным,

Когда поймёте наш рассказ.

(А.Стариков)

Вопрос: Догадались? Так сколько же лет девочке?

Ответ: Двенадцать, пятый класс, четыре книги и т.д.

Запишите числа в двоичной системе счисления.

По горизонтали: 1. 100001. 4. 110001. 5. 1011. 6. 110011. 9. 111111. 11. 1111.

По вертикали: 1. 101010. 2. 100000. 3. 111110. 4. 111001 7. 11111. 8. 111. 10. 101.

Задание 1: Дан ряд фигур. Продолжите этот

Ответ: Если принять, что большой вертикальный отрезок представляет цифру 1, а два маленьких ,

расположенных один под другим,— цифру 0, то приведённые фигуры соответствуют числам

0, 1, 2 и 3, записанным в двоичной системе счисления с нулями в старших разрядах.

Задание 2: Дан ряд фигур. Продолжите этот ряд —нарисуйте

следующие 2 фигуры приведённой последовательности.

Ответ: если принять, что большой вертикальный

отрезок представляет цифру 1, а маленький— цифру 0,

то приведённые фигуры соответствуют числам 8, 9, 10 и 11,

записанным в двоичной системе счисления с нулями в

Задание 3: Дан ряд фигур и соответствующие им

числа. Нарисуйте фигуры, соответствующие числам 7 и 12.

Задание 4: Дан ряд фигур и соответствующие им

Рассказывают, что в древности и в средние века большой интерес вызывал китайский символ, называемый Же-Ким, или Жекинг. Приписывается он древнейшему законодателю Китая Фо Хи (жившему примерно за 3000 лет до н.э.). Символ состоит из 64 небольших фигур, каждая из которых образована шестью находящимися друг над другом горизонтальными линиями; одни линии сплошные, другие имеют в середине разрыв (ниже приведены первые его 16 фигур).

Символ этот приводил в отчаяние как китайских, так и европейских учёных, которые не могли дать ему удовлетворительную трактовку. Только Исаак Лейбниц, рассматривая различные начертания Же-Кима, обнаружил, что Же-Ким есть не что иное, как последовательность первых 64 чисел, записанных в двоичной системе счисления. В самом деле, если единицу обозначить одной прямой линией, а ноль— прямой с разрывом посередине и если, кроме того, цифры высших разрядов писать не слева на право, а снизу вверх, то нетрудно увидеть, что каждая из фигур Же-Кима, составленная из шести горизонтальных линий, может быть истолкована как двоичное число.

Задания: Дан ряд фигур. Продолжите этот ряд, нарисовав следующие 2 фигуры.

Нарисуйте фигуры, соответствующие числам 7 и 12.

У меня в коробках лежали гвозди, винты и гайки. На каждой коробке было написано, что в ней лежит. Однажды мой младший брат пересыпал содержимое коробок так, что надпись на каждой коробке перестала соответствовать её содержимому, хорошо ещё, что он не мешал их. Гвозди остались лежать отдельно от винтов и гаек. Можно ли, открыв одну из коробок, определить, что лежит в каждой коробке?

Ответ: Да. Пусть, например, на коробке написано «гвозди». Так как это неверно, открыв её, мы увидим винты или гайки. Если винты — в коробке с надписью «винты» хранятся гайки, а в коробке «гайки» — гвозди. Соответственно, если в коробке гайки, то гвозди хранятся в коробке с надписью «винты», а в коробке «гайки» — винты.

Шарманки, музыкальные шкатулки и то, что лежит в чёрном ящике, — все эти предметы объединяет то, что они работают по программе. Это особенно удивительно, если вспомнить, что во время их создания о программировании никто не догадывался.

В шарманке и музыкальных шкатулках «программа» записана в виде штырьков, расположенных на валу. При вращении вала штырьки задевают пластинки, звучание которых сливается в стройную мелодию. А что же в чёрном ящике?

Ответ: Часы с боем. В них «программа» представляет собой специальное колесо, запускающее в определённое время ударный механизм, отбивающий число часов.

Три мудреца вступили в спор: кто из троих более мудрый? Спор помог решить случайный прохожий, предложивший им испытание на сообразительность.

— Вы видите у меня,— сказал он,— пять колпаков: три чёрных и два белых. Закройте глаза!

С этими словами он надел каждому по чёрному колпаку, а два белых спрятал в мешок.

— Можете открыть глаза,— сказал прохожий.— Кто угадает, какого цвета колпак украшает его голову, тот вправе считать себя самым мудрым.

Долго сидели мудрецы, глядя друг на друга… Наконец, один воскликнул:

Ответ: Мудрец рассуждал примерно так: «Я вижу перед собой два чёрных колпака. Предположим, что на мне — белый. Тогда второй мудрец, видя перед собой чёрный и белый колпаки должен рассуждать так: « Если бы на мне был тоже белый колпак, то третий сразу бы догадался и заявил, что у него чёрный. Но он молчит, значит, на мне не белый, а чёрный». А так второй не говорит этого, значит, на мне тоже чёрный».

Задание: В каждую из приведённых последовательностей необходимо добавить ещё один элемент.

Ответ: 1. 1011 ( запись числа 11 в двоичной системе счисления; в последовательности представлена запись чисел 8, 9, 10).

1.До границы осталось 60 км. В сторону границы со скоростью 120 км/ч мчится шпионский автомобиль. По его салону со скоростью 36 км/ч мечется таракан. За какое время таракан доберётся до границы?

2. Пассажир ехал на такси в село. По дороге он встретил 5 грузовиков и 3 автомашины, 2 трактора с прицепом и одну сеялку. Сколько всего машин приехало в село?

5. Встретились три подруги: Белова, Краснова, Чернова. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье одет?

Ответ: Чернова — в красном, Краснова — в белом, Белова— в чёрном.

1.Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12₈, 11₁₆ и 110011₂?

Ответ: Не существует, так как 12₈+11₁₆ =110011₂ (10 + 17 = 27)

3. В классе 1111₂ девочек и 1100₂. Сколько всего учеников в классе?

4. В саду 100_q фруктовых деревьев, из них 33_q яблони, 22_q груши, 16_q слив и 5_q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

5. В классе 36_q учеников, из них 21_q девочек и 15_q мальчиков, в какой системе счисления вёлся счёт учеников?

6. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

Ответ: Может быть, если все данные приведены в двоичной системе счисления.

7. Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сколько листьев было после девятого дня?

8. Сумму восьмеричных чисел 17₈+1700₈+170000₈+17000000₈+1700000000₈ перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева.

Ответ: сложив исходные числа в столбик получим: 1717171717₈ = F3CF3CF₁₆. Пятая цифра слева равна 3.

9. Восстановите неизвестные цифры, обозначенные знаком вопроса, в следующих примерах на сложение и вычитание, определив вначале, в какой системе изображены числа.

Ответ: 5255 1536